Propriedades Gerais dos Inteiros Z | Aula 10 | Teorias dos Números

A moderna teoria dos números é um ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros e suas relações. Existem várias propriedades gerais dos números inteiros que são fundamentais na teoria dos números. Algumas das propriedades mais importantes incluem:

1. Fechamento sob adição e subtração: A soma ou subtração de dois números inteiros sempre resulta em outro número inteiro. Em outras palavras, os números inteiros são fechados sob as operações de adição e subtração.

2. Associatividade e comutatividade da adição e da multiplicação: As operações de adição e multiplicação de números inteiros são associativas, o que significa que a ordem em que os números são somados ou multiplicados não afeta o resultado. Além disso, essas operações são comutativas, o que significa que a ordem dos números não importa.

3. Identidade aditiva e multiplicativa: O número 0 é a identidade aditiva, o que significa que qualquer número inteiro somado a 0 resulta no próprio número inteiro. O número 1 é a identidade multiplicativa, o que significa que qualquer número inteiro multiplicado por 1 resulta no próprio número inteiro.

4. Propriedade distributiva: A multiplicação é distributiva em relação à adição. Isso significa que, para quaisquer três números inteiros a, b e c, a multiplicação distribui sobre a adição da seguinte forma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

5. Existência de negativos: Para cada número inteiro positivo, há um número inteiro negativo correspondente e vice-versa. Por exemplo, para cada número inteiro positivo n, há um número inteiro negativo -n.

6. Infinitude dos números inteiros: Não há um maior ou menor número inteiro, e os números inteiros se estendem infinitamente em ambas as direções na reta numérica.

7. Divisibilidade: Um número inteiro a é divisível por outro número inteiro b (denotado como a | b) se existe um número inteiro c tal que a = b × c. Por exemplo, 4 é divisível por 2, pois 4 = 2 × 2.

8. Teorema Fundamental da Aritmética: Este teorema afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de números primos, até a ordem dos fatores. Esse é um dos resultados mais fundamentais da teoria dos números.

Estas são algumas das propriedades gerais dos números inteiros que são estudadas na moderna teoria dos números. Essas propriedades formam a base para a investigação de muitos outros tópicos dentro da teoria dos números, incluindo congruências, números primos, números perfeitos, entre outros.