A magia da matemática de Arthur Benjamin estava na sua lista de leitura? Pegue as idéias principais do livro com este breve resumo.
A simples menção de um mágico normalmente traz imagens de alguém com uma cartola dizendo abracadabra e conjurando coelhos brancos, pombas e lenços do nada com o simples toque de uma varinha. Mas sem os adereços e o grande espetáculo, a mágica também se teria acabado.
A menos, é claro, que você entre no mundo da matemática! O resumo deste livro explora a bela magia dos padrões matemáticos, mostrando como você pode usar alguns desses padrões para realizar truques impressionantes e fazer cálculos aparentemente impossíveis em sua cabeça. Veja como a magia também pode ser encontrada em números como π, bem como no conceito de infinito.
Neste resumo de A magia da matemática, de Arthur Benjamin, você também descobrirá
- como colocar facilmente grandes números na sua cabeça;
- como impressionar as pessoas com um simples truque de mágica baseado em álgebra; e
- por que existem exatamente tantos números inteiros positivos quanto números inteiros pares.
A magia da matemática de Arthur Benjamin estava na sua lista de leitura? Pegue as idéias principais do livro com este breve resumo.
A simples menção de um mágico normalmente traz imagens de alguém com uma cartola dizendo abracadabra e conjurando coelhos brancos, pombas e lenços do nada com o simples toque de uma varinha. Mas sem os adereços e o grande espetáculo, a mágica também se teria acabado.
A menos, é claro, que você entre no mundo da matemática! O resumo deste livro explora a bela magia dos padrões matemáticos, mostrando como você pode usar alguns desses padrões para realizar truques impressionantes e fazer cálculos aparentemente impossíveis em sua cabeça. Veja como a magia também pode ser encontrada em números como π, bem como no conceito de infinito.
Neste resumo de A magia da matemática, de Arthur Benjamin, você também descobrirá
- como colocar facilmente grandes números na sua cabeça;
- como impressionar as pessoas com um simples truque de mágica baseado em álgebra; e
- por que existem exatamente tantos números inteiros positivos quanto números inteiros pares.
# 1: Os padrões numéricos não são apenas mágicos - eles também podem levar a aplicações reais.
A matemática é mais do que apenas livros tediosos e cálculos trabalhosos; é um mundo inteiro de padrões que não são apenas mágicos , mas também podem ser realmente úteis.
Considere os chamados padrões numéricos - padrões feitos de números - e suas propriedades surpreendentes e bonitas.
O autor descobriu esses padrões pela primeira vez quando criança, quando brincava com pares de números que somavam 20:10 e 10, ou 9 e 11, por exemplo.
Ele se perguntou: qual é o maior produto possível que posso obter multiplicando esses pares?
Vamos descobrir:
7x13 = 91
8x12 = 96
9x11 = 99
10x10 = 100
Então, o maior produto é quando ambos os números são 10. Nada de extraordinário, certo?
Mas se você olhar mais de perto, há algo interessante sobre esses números. Examine a que distância cada produto está de 100, contando para baixo, e você notará um padrão: 0, 1, 4, 9. Estes são os primeiros números quadrados , ou seja, os números que seguem a sequência 1², 2², 3², e assim por diante.
Esse padrão se aplica a todos os níveis da escala: se calcularmos 5 x 15, podemos voltar a 100 adicionando 5². E, além do mais, o mesmo padrão surge independentemente do número que os pares somam!
Esses padrões numéricos não são apenas mágicos, eles também são úteis no mundo real. Se pudermos aprender seus segredos, podemos usá-los para aumentar o poder de nossa aritmética mental, ou seja, os cálculos que fazemos em nossa cabeça.
Por exemplo, podemos usar o padrão acima para calcular facilmente o quadrado de um número.
Digamos que você queira quadrado o número 13. Em vez de calcular 13x13 - um pesadelo para fazer mentalmente - podemos executar o cálculo mais fácil 10 * 16, onde ambos os números somam 26, assim como 13 e 13.
Agora temos 10x16 = 160, mas ainda não chegamos lá. Nosso padrão anterior nos diz que, desde que subimos e diminuímos 3 de 13, precisamos adicionar 3² ao resultado. Assim, temos 13² = (10 * 16) + 3² = 160 + 9 = 169.
A matemática é mais do que apenas livros tediosos e cálculos trabalhosos; é um mundo inteiro de padrões que não são apenas mágicos , mas também podem ser realmente úteis.
Considere os chamados padrões numéricos - padrões feitos de números - e suas propriedades surpreendentes e bonitas.
O autor descobriu esses padrões pela primeira vez quando criança, quando brincava com pares de números que somavam 20:10 e 10, ou 9 e 11, por exemplo.
Ele se perguntou: qual é o maior produto possível que posso obter multiplicando esses pares?
Vamos descobrir:
7x13 = 91
8x12 = 96
9x11 = 99
10x10 = 100
Então, o maior produto é quando ambos os números são 10. Nada de extraordinário, certo?
Mas se você olhar mais de perto, há algo interessante sobre esses números. Examine a que distância cada produto está de 100, contando para baixo, e você notará um padrão: 0, 1, 4, 9. Estes são os primeiros números quadrados , ou seja, os números que seguem a sequência 1², 2², 3², e assim por diante.
Esse padrão se aplica a todos os níveis da escala: se calcularmos 5 x 15, podemos voltar a 100 adicionando 5². E, além do mais, o mesmo padrão surge independentemente do número que os pares somam!
Esses padrões numéricos não são apenas mágicos, eles também são úteis no mundo real. Se pudermos aprender seus segredos, podemos usá-los para aumentar o poder de nossa aritmética mental, ou seja, os cálculos que fazemos em nossa cabeça.
Por exemplo, podemos usar o padrão acima para calcular facilmente o quadrado de um número.
Digamos que você queira quadrado o número 13. Em vez de calcular 13x13 - um pesadelo para fazer mentalmente - podemos executar o cálculo mais fácil 10 * 16, onde ambos os números somam 26, assim como 13 e 13.
Agora temos 10x16 = 160, mas ainda não chegamos lá. Nosso padrão anterior nos diz que, desde que subimos e diminuímos 3 de 13, precisamos adicionar 3² ao resultado. Assim, temos 13² = (10 * 16) + 3² = 160 + 9 = 169.
# 2: Você pode usar a álgebra para realizar truques de mágica matemática.
Agora que você sabe que a matemática pode ser mágica, provavelmente você quer aprender um truque de festa para impressionar seus amigos. Então, aqui está um exemplo de matemática que você pode executar. Escolha um amigo e conduza-o pelas cinco etapas a seguir:
(1) Primeiro pense em dois números de 1 a 10,
(2) depois adicione esses números,
(3) multiplique esse número por 10,
(4) adicione o número original maior,
(5) subtrair o número original menor,
(6) e peça o resultado.
Agora, se você praticar a seguinte técnica, poderá impressioná-lo dizendo instantaneamente os dois números originais !
Imagine que a resposta dele é 126. Pegue o último dígito da resposta, 6 e adicione-o ao (s) número (s) anterior (es), 12. Em seguida, divida isso por 2 para obter (12 + 6) / 2 = 9 . Este será o seu número maior.
Para determinar o número menor, pegue o número maior que você acabou de calcular - neste caso, 9 - e subtraia o último dígito de sua resposta, 6, para obter 9-6 = 3. É isso aí! Mas qual é a mágica por trás do truque? É o poder da álgebra, a forma da aritmética em que as letras substituem os números.
Vejamos a álgebra por trás do nosso truque de festa. Portanto, sejam X e Y dois números, onde X é maior que ou igual a Y. Seguindo as etapas acima, obtemos:
Etapa 2: X + Y, no nosso caso 9 + 3
Etapa 3: 10 (X + Y), 10 (9 + 3) = 120
Passo 4: 10 (X + Y) + X, 10 (9 + 3) + 9 = 129
Passo 5: 10 (X + Y) + (XY), 10 (9 + 3) + (9-3) = 126
Observe que um número do formulário 10 (X + Y) sempre termina em 0 e os dígitos que precedem o 0 são X + Y. XY deve ser um número de um dígito, e é por isso que o último dígito da resposta na etapa 5 é XY.
Mas uma vez que conhecemos X + Y e X-Y, podemos calcular ((X+Y)+(X-Y))/2=((X+X)+(Y-Y))/2=2X/2=X. In our case ((9+3) + (9-3) / 2 = ((9+9) + (3-3)) / 2 = 2x9 /2 = 9
Finalmente, calculamos X- (X-Y) = (X-X) + Y = Y. Nesse caso, seria 9 - (9 - 3) = (9-9) + 3 = 3
Feito. Mágico!
Agora que você sabe que a matemática pode ser mágica, provavelmente você quer aprender um truque de festa para impressionar seus amigos. Então, aqui está um exemplo de matemática que você pode executar. Escolha um amigo e conduza-o pelas cinco etapas a seguir:
(1) Primeiro pense em dois números de 1 a 10,
(2) depois adicione esses números,
(3) multiplique esse número por 10,
(4) adicione o número original maior,
(5) subtrair o número original menor,
(6) e peça o resultado.
Agora, se você praticar a seguinte técnica, poderá impressioná-lo dizendo instantaneamente os dois números originais !
Imagine que a resposta dele é 126. Pegue o último dígito da resposta, 6 e adicione-o ao (s) número (s) anterior (es), 12. Em seguida, divida isso por 2 para obter (12 + 6) / 2 = 9 . Este será o seu número maior.
Para determinar o número menor, pegue o número maior que você acabou de calcular - neste caso, 9 - e subtraia o último dígito de sua resposta, 6, para obter 9-6 = 3. É isso aí! Mas qual é a mágica por trás do truque? É o poder da álgebra, a forma da aritmética em que as letras substituem os números.
Vejamos a álgebra por trás do nosso truque de festa. Portanto, sejam X e Y dois números, onde X é maior que ou igual a Y. Seguindo as etapas acima, obtemos:
Etapa 2: X + Y, no nosso caso 9 + 3
Etapa 3: 10 (X + Y), 10 (9 + 3) = 120
Passo 4: 10 (X + Y) + X, 10 (9 + 3) + 9 = 129
Passo 5: 10 (X + Y) + (XY), 10 (9 + 3) + (9-3) = 126
Observe que um número do formulário 10 (X + Y) sempre termina em 0 e os dígitos que precedem o 0 são X + Y. XY deve ser um número de um dígito, e é por isso que o último dígito da resposta na etapa 5 é XY.
Mas uma vez que conhecemos X + Y e X-Y, podemos calcular ((X+Y)+(X-Y))/2=((X+X)+(Y-Y))/2=2X/2=X. In our case ((9+3) + (9-3) / 2 = ((9+9) + (3-3)) / 2 = 2x9 /2 = 9
Finalmente, calculamos X- (X-Y) = (X-X) + Y = Y. Nesse caso, seria 9 - (9 - 3) = (9-9) + 3 = 3
Feito. Mágico!
# 3: O número 9 é mágico de várias maneiras.
Desde que o autor era criança, ele era fascinado pelo número 9. Por que 9? Porque 9 é um número mágico.Podemos ver a primeira propriedade mágica de 9 em seus múltiplos. Os primeiros múltiplos de 9 são: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117,….
Todos esses números têm algo em comum. Se você pegar os dígitos de cada múltiplo e adicioná-los, a resposta é sempre 9! Por exemplo, 9 + 0 = 9, 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9 e 3 + 6 = 9. À primeira vista, 99 parece uma exceção, porque 9 + 9 = 18 . No entanto, se você adicionar 1 e 8 juntos, obterá novamente 9.
Mas o inverso também é verdadeiro: qualquer número cujos dígitos somam um múltiplo de 9 é ele próprio um múltiplo de 9. Veja 123.456.789, por exemplo. O total de seus dígitos é 45: um múltiplo de 9, o que significa 123.456.789 também deve ser um múltiplo de 9. De fato, 9x 13717421 = 123.456.789.
Podemos ver outra propriedade mágica de 9 quando olhamos para números com dígitos diferentes, escritos do menor para o maior. Esses números incluem 12345, 2368, 379 ou 135789 e seguem o formato abcde ... com a <b <c <d <e < . Portanto, a é menor que b, b é menor que c e assim por diante.
Agora, um pouco de mágica: vamos multiplicar um desses números abcde por 9, digamos 9x 12345 , e depois adicionar os dígitos. Já sabemos que o resultado deve ser um múltiplo de 9, porque os dígitos dos múltiplos de 9 somam 9.
Mas com os números abcde, você não obtém apenas um múltiplo de 9; de fato, o número é sempre exatamente 9. Por exemplo: 9x 12345 = 111.105 , em que 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9 ; 9x 2358 = 21.222 , em que 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9 .
Todos esses números têm algo em comum. Se você pegar os dígitos de cada múltiplo e adicioná-los, a resposta é sempre 9! Por exemplo, 9 + 0 = 9, 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9 e 3 + 6 = 9. À primeira vista, 99 parece uma exceção, porque 9 + 9 = 18 . No entanto, se você adicionar 1 e 8 juntos, obterá novamente 9.
Mas o inverso também é verdadeiro: qualquer número cujos dígitos somam um múltiplo de 9 é ele próprio um múltiplo de 9. Veja 123.456.789, por exemplo. O total de seus dígitos é 45: um múltiplo de 9, o que significa 123.456.789 também deve ser um múltiplo de 9. De fato, 9x 13717421 = 123.456.789.
Podemos ver outra propriedade mágica de 9 quando olhamos para números com dígitos diferentes, escritos do menor para o maior. Esses números incluem 12345, 2368, 379 ou 135789 e seguem o formato abcde ... com a <b <c <d <e < . Portanto, a é menor que b, b é menor que c e assim por diante.
Agora, um pouco de mágica: vamos multiplicar um desses números abcde por 9, digamos 9x 12345 , e depois adicionar os dígitos. Já sabemos que o resultado deve ser um múltiplo de 9, porque os dígitos dos múltiplos de 9 somam 9.
Mas com os números abcde, você não obtém apenas um múltiplo de 9; de fato, o número é sempre exatamente 9. Por exemplo: 9x 12345 = 111.105 , em que 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9 ; 9x 2358 = 21.222 , em que 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9 .
# 4: os números de Fibonacci revelam uma série de padrões surpreendentes.
Em 1202, o matemático italiano Fibonacci escreveu o livro Liber Abaci ("O Livro de Cálculo"), um livro que mudaria o mundo da matemática. Continha uma variedade de problemas aritméticos, o mais famoso envolvendo, curiosamente, coelhos imortais. Aqui está o que parecia:
Suponha que coelhos bebês demorem um mês para amadurecer e que um par de coelhos maduros produza um novo par de coelhos bebês todos os meses. Começando com um par de coelhos bebês, quantos pares de coelhos haverá após 3, 4 ou 12 meses?
A resposta a esta pergunta leva aos famosos números de Fibonacci .
Vamos explorar isso matematicamente, usando o minúsculo "r" para indicar um par de coelhos bebês e um "R" maiúsculo para um par adulto.
Pelas regras do quebra-cabeça, sabemos que todo mês um "r" (coelho bebê) se tornará "R" (coelho adulto), e cada "R" será substituído por "Rr", um par de adultos mais um par de bebês
Então o que temos?
Mês 1: r
Mês 2: R
Mês 3: Rr
Mês 4: Rr R
Mês 5: Rr R Rr
Mês 6: Rr Rr Rr R
...
Se contarmos os pares de coelhos resultantes em dígitos, obteremos a sequência 1,1,2,3,5,8 ...
Notou alguma coisa?
Cada número é a soma de seus dois antecessores. Por exemplo, 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3 , 2 + 3 = 5 e assim por diante. Esta é a sequência extraordinária conhecida como Números de Fibonacci .
Mas isso é apenas o começo de suas maravilhas.
Por exemplo, o que você acha que acontece se adicionarmos quadrados dos números de Fibonacci?
1² + 1² = 2 ,
1² + 2² = 5 ,
2² + 3² = 13 ,….
À primeira vista, não parece haver um padrão. Mas, de fato, os resultados ainda fazem parte de uma sequência de Fibonacci, exceto que cada segundo número é deixado de fora!
Que tal isso: o que acontece se somarmos todos os quadrados dos números de Fibonacci?
1² + 1² = 2 = 1x 2 ,
1² + 1² + 2² = 6 = 2x 3 ,
1² + 1² + 2² + 3² = 15 = 3x 5 ,….
Aqui, a soma dos quadrados dos números de Fibonacci é o produto de dois números consecutivos de Fibonacci!
Em 1202, o matemático italiano Fibonacci escreveu o livro Liber Abaci ("O Livro de Cálculo"), um livro que mudaria o mundo da matemática. Continha uma variedade de problemas aritméticos, o mais famoso envolvendo, curiosamente, coelhos imortais. Aqui está o que parecia:
Suponha que coelhos bebês demorem um mês para amadurecer e que um par de coelhos maduros produza um novo par de coelhos bebês todos os meses. Começando com um par de coelhos bebês, quantos pares de coelhos haverá após 3, 4 ou 12 meses?
A resposta a esta pergunta leva aos famosos números de Fibonacci .
Vamos explorar isso matematicamente, usando o minúsculo "r" para indicar um par de coelhos bebês e um "R" maiúsculo para um par adulto.
Pelas regras do quebra-cabeça, sabemos que todo mês um "r" (coelho bebê) se tornará "R" (coelho adulto), e cada "R" será substituído por "Rr", um par de adultos mais um par de bebês
Então o que temos?
Mês 1: r
Mês 2: R
Mês 3: Rr
Mês 4: Rr R
Mês 5: Rr R Rr
Mês 6: Rr Rr Rr R
...
Se contarmos os pares de coelhos resultantes em dígitos, obteremos a sequência 1,1,2,3,5,8 ...
Notou alguma coisa?
Cada número é a soma de seus dois antecessores. Por exemplo, 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3 , 2 + 3 = 5 e assim por diante. Esta é a sequência extraordinária conhecida como Números de Fibonacci .
Mas isso é apenas o começo de suas maravilhas.
Por exemplo, o que você acha que acontece se adicionarmos quadrados dos números de Fibonacci?
1² + 1² = 2 ,
1² + 2² = 5 ,
2² + 3² = 13 ,….
À primeira vista, não parece haver um padrão. Mas, de fato, os resultados ainda fazem parte de uma sequência de Fibonacci, exceto que cada segundo número é deixado de fora!
Que tal isso: o que acontece se somarmos todos os quadrados dos números de Fibonacci?
1² + 1² = 2 = 1x 2 ,
1² + 1² + 2² = 6 = 2x 3 ,
1² + 1² + 2² + 3² = 15 = 3x 5 ,….
Aqui, a soma dos quadrados dos números de Fibonacci é o produto de dois números consecutivos de Fibonacci!
# 5: as provas são a força vital do raciocínio matemático.
Há uma coisa que separa a matemática de todas as outras ciências: os matemáticos podem provar que suas proposições são absolutamente verdadeiras.
Isso é possível pela certeza de provas matemáticas , séries de equações que são verdadeiras em todas as circunstâncias.
Vamos esclarecer com um exemplo.
Provavelmente, é senso comum para você que adicionar dois números pares resultará em outro número par. Por exemplo, 2 e 2 são 4 ou 2 e 6 são 8.
Mas como podemos ter certeza de que isso se aplica a todos os pares de números pares sem calcular todos e cada um? Através do poder das provas.
Digamos que queremos provar que se m e n são números pares, então m + n é um número par.
Por definição, números pares são múltiplos de 2. Portanto, podemos escrever todos os números pares como 2k com k sendo um número inteiro, outra palavra referente a todos os números inteiros.
Agora vamos m = 2k e n = 2j com j, k como inteiros.
Segue-se que m + n = 2k + 2j = 2 (j + k) .
Como j + k é um número inteiro, isso significa que m + n é um múltiplo de 2 - e, portanto, par!
Esse é o poder de uma prova: ela nos permite ter certeza sem precisar executar cálculos sem fim.
Outro grande exemplo é o método chamado indução, reconhecido como especialmente elegante pelos matemáticos. Primeiro, mostra- se que, se uma afirmação é verdadeira para um número arbitrário, k , também deve ser verdadeira para seu sucessor, k + 1 .
Segundo, encontra-se um número específico n para o qual a afirmação é realmente verdadeira. Tendo encontrado n , o primeiro passo força a afirmação a ser verdadeira também para n + 1 . Mas como a afirmação é verdadeira para n + 1 , o primeiro passo força a afirmação a ser verdadeira para (n + 1) + 1 = n + 2 e assim por diante. Portanto, a afirmação deve ser verdadeira para todos os sucessores de n.
Há uma coisa que separa a matemática de todas as outras ciências: os matemáticos podem provar que suas proposições são absolutamente verdadeiras.
Isso é possível pela certeza de provas matemáticas , séries de equações que são verdadeiras em todas as circunstâncias.
Vamos esclarecer com um exemplo.
Provavelmente, é senso comum para você que adicionar dois números pares resultará em outro número par. Por exemplo, 2 e 2 são 4 ou 2 e 6 são 8.
Mas como podemos ter certeza de que isso se aplica a todos os pares de números pares sem calcular todos e cada um? Através do poder das provas.
Digamos que queremos provar que se m e n são números pares, então m + n é um número par.
Por definição, números pares são múltiplos de 2. Portanto, podemos escrever todos os números pares como 2k com k sendo um número inteiro, outra palavra referente a todos os números inteiros.
Agora vamos m = 2k e n = 2j com j, k como inteiros.
Segue-se que m + n = 2k + 2j = 2 (j + k) .
Como j + k é um número inteiro, isso significa que m + n é um múltiplo de 2 - e, portanto, par!
Esse é o poder de uma prova: ela nos permite ter certeza sem precisar executar cálculos sem fim.
Outro grande exemplo é o método chamado indução, reconhecido como especialmente elegante pelos matemáticos. Primeiro, mostra- se que, se uma afirmação é verdadeira para um número arbitrário, k , também deve ser verdadeira para seu sucessor, k + 1 .
Segundo, encontra-se um número específico n para o qual a afirmação é realmente verdadeira. Tendo encontrado n , o primeiro passo força a afirmação a ser verdadeira também para n + 1 . Mas como a afirmação é verdadeira para n + 1 , o primeiro passo força a afirmação a ser verdadeira para (n + 1) + 1 = n + 2 e assim por diante. Portanto, a afirmação deve ser verdadeira para todos os sucessores de n.
# 6: O número π tem muitos mistérios.
Existem poucos números tão misteriosos quanto o número π, pronunciado pi . Você provavelmente se lembra da escola, quando a usava para calcular medidas relacionadas a círculos.
Para ser preciso, o número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Vamos colocar algumas definições. O raio r de um círculo é a distância entre o centro do círculo e um de seus pontos. O diâmetro de um círculo D é definido como o dobro do seu raio: D = 2r. D é a distância entre qualquer ponto do círculo e outro no centro do círculo. Finalmente, a distância ao redor de um círculo é chamada circunferência C.
Podemos então olhar para a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, C / D. Essa proporção é o famoso π (a letra grega para "p") e é aproximadamente 3,14 , independentemente do tamanho do círculo.
Então agora você pode se lembrar de π. Mas você sabia que ele tem muitos usos interessantes além da geometria?
Se você conhece as estatísticas, provavelmente já ouviu falar da famosa curva de sino, o gráfico que descreve a distribuição de uma característica comum como o QI. π é realmente crucial para a fórmula que descreve esse gráfico poderoso, usado em domínios que vão da ciência experimental ao processamento de sinais.
Esse não é o único lugar interessante que aparece. Tome a soma infinita de frações, onde sempre temos 1 no topo e um número quadrado abaixo:
1+1⁄22 +1⁄32 +1⁄42 ... = 1⁄4+1⁄9+1⁄16 +....
O grande matemático Leonhard Euler (1707-1783) mostrou que o resultado dessa soma é o número π² / 6. Isso é inesperado, porque não há um vínculo óbvio entre π, derivado de círculos, e uma soma infinita de frações.
π possui muitos outros recursos interessantes. Por exemplo, π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma fração de números inteiros. Outros exemplos de números irracionais incluem √2.
Agora que aprendemos mais sobre π, vamos descobrir dois outros números importantes.
Existem poucos números tão misteriosos quanto o número π, pronunciado pi . Você provavelmente se lembra da escola, quando a usava para calcular medidas relacionadas a círculos.
Para ser preciso, o número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Vamos colocar algumas definições. O raio r de um círculo é a distância entre o centro do círculo e um de seus pontos. O diâmetro de um círculo D é definido como o dobro do seu raio: D = 2r. D é a distância entre qualquer ponto do círculo e outro no centro do círculo. Finalmente, a distância ao redor de um círculo é chamada circunferência C.
Podemos então olhar para a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, C / D. Essa proporção é o famoso π (a letra grega para "p") e é aproximadamente 3,14 , independentemente do tamanho do círculo.
Então agora você pode se lembrar de π. Mas você sabia que ele tem muitos usos interessantes além da geometria?
Se você conhece as estatísticas, provavelmente já ouviu falar da famosa curva de sino, o gráfico que descreve a distribuição de uma característica comum como o QI. π é realmente crucial para a fórmula que descreve esse gráfico poderoso, usado em domínios que vão da ciência experimental ao processamento de sinais.
Esse não é o único lugar interessante que aparece. Tome a soma infinita de frações, onde sempre temos 1 no topo e um número quadrado abaixo:
1+1⁄22 +1⁄32 +1⁄42 ... = 1⁄4+1⁄9+1⁄16 +....
O grande matemático Leonhard Euler (1707-1783) mostrou que o resultado dessa soma é o número π² / 6. Isso é inesperado, porque não há um vínculo óbvio entre π, derivado de círculos, e uma soma infinita de frações.
π possui muitos outros recursos interessantes. Por exemplo, π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma fração de números inteiros. Outros exemplos de números irracionais incluem √2.
Agora que aprendemos mais sobre π, vamos descobrir dois outros números importantes.
# 7: Existem outros dois números proeminentes na matemática - o número imaginário ie o número Euler e.
Acredite ou não, os matemáticos têm equações favoritas . Se você perguntar, muitos mencionarão este: e iπ + 1 = 0.
Essa equação simples, atribuída a Leonhard Euler, é considerada por muitos como a equação mais bonita de toda a matemática, porque contém os cinco números principais da matemática: 1, 0, π, i e e.
Já sabemos 1, 0 e π, então vamos olhar mais de perto i e e .
O número misterioso i é a raiz quadrada de -1. Não é apenas misterioso - em matemática, é chamado de número imaginário que resolve a equação desconcertante i² = -1.
Você está certo, isso parece estranho. Como diabos o quadrado de um número pode ser negativo?
Números negativos provavelmente pareciam estranhos desde que você era criança. Por exemplo, você nunca vai ao supermercado e pede menos quatro laranjas.
Mas agora que você é adulto, provavelmente já viu como, apesar de sua natureza contra-intuitiva, os números negativos têm seu uso no mundo real - para exibir dívidas, por exemplo.
Da mesma forma, os matemáticos encontraram usos para números imaginários, especialmente ao resolver certas equações complicadas. Tome a equação x² + 1 = 0. Se você substituir o valor desconhecido x pelo valor concreto i - o número imaginário - isso resolverá a equação desde que i² = -1 e, portanto, i² + 1 = -1 + 1 = 0.
Outro número importante, curioso e útil em matemática é o número de Euler e.
e é como π. É um número encontrado em toda parte na matemática e tem seu próprio valor numérico estranho. De fato, o número de Euler e é aproximadamente 2,71828.
Esse número é usado para ajudar as pessoas a calcular juros , a quantia que o dinheiro de alguém aumentou após um período específico a uma determinada taxa de juros. E, como π, também desempenha um papel crucial no cálculo das curvas de sino, os poderosos gráficos mencionados no resumo do livro anterior.
Acredite ou não, os matemáticos têm equações favoritas . Se você perguntar, muitos mencionarão este: e iπ + 1 = 0.
Essa equação simples, atribuída a Leonhard Euler, é considerada por muitos como a equação mais bonita de toda a matemática, porque contém os cinco números principais da matemática: 1, 0, π, i e e.
Já sabemos 1, 0 e π, então vamos olhar mais de perto i e e .
O número misterioso i é a raiz quadrada de -1. Não é apenas misterioso - em matemática, é chamado de número imaginário que resolve a equação desconcertante i² = -1.
Você está certo, isso parece estranho. Como diabos o quadrado de um número pode ser negativo?
Números negativos provavelmente pareciam estranhos desde que você era criança. Por exemplo, você nunca vai ao supermercado e pede menos quatro laranjas.
Mas agora que você é adulto, provavelmente já viu como, apesar de sua natureza contra-intuitiva, os números negativos têm seu uso no mundo real - para exibir dívidas, por exemplo.
Da mesma forma, os matemáticos encontraram usos para números imaginários, especialmente ao resolver certas equações complicadas. Tome a equação x² + 1 = 0. Se você substituir o valor desconhecido x pelo valor concreto i - o número imaginário - isso resolverá a equação desde que i² = -1 e, portanto, i² + 1 = -1 + 1 = 0.
Outro número importante, curioso e útil em matemática é o número de Euler e.
e é como π. É um número encontrado em toda parte na matemática e tem seu próprio valor numérico estranho. De fato, o número de Euler e é aproximadamente 2,71828.
Esse número é usado para ajudar as pessoas a calcular juros , a quantia que o dinheiro de alguém aumentou após um período específico a uma determinada taxa de juros. E, como π, também desempenha um papel crucial no cálculo das curvas de sino, os poderosos gráficos mencionados no resumo do livro anterior.
# 8: Quando se aproxima do infinito, a matemática produz resultados estranhos.
O infinito é um dos conceitos mais impressionantes de toda a matemática. De longe, faz sentido, mas quando chegamos muito perto, as coisas começam a ficar realmente bizarras.
Por exemplo, o número 0,99999 ..., que chega infinitamente próximo a 1, nunca chegará a 1, certo? Podemos provar o contrário.
Seja w = 0,99999 .... Se multiplicarmos por 10, obtemos 10w = 9,99999 .... E se subtrairmos a primeira equação da segunda, obtemos 9w = 9,00000 ... o que significa que w = 1!
Isso faz sentido porque dois números são diferentes apenas se houver um número entre eles. Mas neste caso, isso simplesmente não é possível.
Outro aspecto contra-intuitivo do infinito é mostrado no tamanho de conjuntos infinitos de números.
Há uma quantidade infinita de números inteiros positivos - os números que usamos no dia a dia, como 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante. Agora, todo segundo número inteiro positivo é par: 2 é par, 3 não é, 4 é par novamente e assim por diante. Portanto, faz sentido pensar que há mais números inteiros positivos do que números inteiros positivos, já que apenas metade deles é par.
Errado.
De fato, existem exatamente tantos números inteiros positivos quanto números inteiros positivos, e isso é devido ao infinito.
Se você comparar os dois conjuntos de números - o conjunto de números inteiros positivos e o conjunto de números inteiros positivos - ambos são infinitos e, portanto, têm o mesmo "tamanho".
Os matemáticos expressam isso dizendo que há uma correspondência individual entre esses dois conjuntos: cada número do conjunto de números inteiros positivos pode ser emparelhado com exatamente um número inteiro positivo da seguinte maneira:
1 → 2,
2 → 4,
3 → 6,
4 → 8,
Sempre que os conjuntos têm uma correspondência um-para-um, é dito que eles têm o mesmo número (infinito) de elementos.
O infinito é um dos conceitos mais impressionantes de toda a matemática. De longe, faz sentido, mas quando chegamos muito perto, as coisas começam a ficar realmente bizarras.
Por exemplo, o número 0,99999 ..., que chega infinitamente próximo a 1, nunca chegará a 1, certo? Podemos provar o contrário.
Seja w = 0,99999 .... Se multiplicarmos por 10, obtemos 10w = 9,99999 .... E se subtrairmos a primeira equação da segunda, obtemos 9w = 9,00000 ... o que significa que w = 1!
Isso faz sentido porque dois números são diferentes apenas se houver um número entre eles. Mas neste caso, isso simplesmente não é possível.
Outro aspecto contra-intuitivo do infinito é mostrado no tamanho de conjuntos infinitos de números.
Há uma quantidade infinita de números inteiros positivos - os números que usamos no dia a dia, como 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante. Agora, todo segundo número inteiro positivo é par: 2 é par, 3 não é, 4 é par novamente e assim por diante. Portanto, faz sentido pensar que há mais números inteiros positivos do que números inteiros positivos, já que apenas metade deles é par.
Errado.
De fato, existem exatamente tantos números inteiros positivos quanto números inteiros positivos, e isso é devido ao infinito.
Se você comparar os dois conjuntos de números - o conjunto de números inteiros positivos e o conjunto de números inteiros positivos - ambos são infinitos e, portanto, têm o mesmo "tamanho".
Os matemáticos expressam isso dizendo que há uma correspondência individual entre esses dois conjuntos: cada número do conjunto de números inteiros positivos pode ser emparelhado com exatamente um número inteiro positivo da seguinte maneira:
1 → 2,
2 → 4,
3 → 6,
4 → 8,
Sempre que os conjuntos têm uma correspondência um-para-um, é dito que eles têm o mesmo número (infinito) de elementos.
Resumo final
A mensagem principal deste livro:
Os padrões matemáticos podem revelar resultados surpreendentes, bonitos e mágicos ao mesmo tempo. Obter uma compreensão mais profunda desses padrões pode realmente ser útil, ajudando-nos a aumentar a velocidade de nossa aritmética mental e a executar truques numéricos. Mas além de padrões, números como π, i e e , e o conceito de infinito tem sua própria magia especial, também.
Conselho acionável:
Confunda seus colegas e amigos com um truque mágico matemático !
Escolha um de seus colegas ou amigos e deixe que ele pense em um número entre 20 e 100. Quando ela escolher um, peça a ele para executar os três cálculos simples a seguir:
- adicione os dígitos (por exemplo, 23 → 2 + 3 = 5)
- subtraia o total do número original (23-5 = 18)
- adicione os dígitos do novo número (18 → 1 + 8 = 9)
Você pode adivinhar facilmente o número dela, porque ela não sabe que, não importa com qual número ela comece, ela sempre terminará com o número 9!
A mensagem principal deste livro:
Os padrões matemáticos podem revelar resultados surpreendentes, bonitos e mágicos ao mesmo tempo. Obter uma compreensão mais profunda desses padrões pode realmente ser útil, ajudando-nos a aumentar a velocidade de nossa aritmética mental e a executar truques numéricos. Mas além de padrões, números como π, i e e , e o conceito de infinito tem sua própria magia especial, também.
Conselho acionável:
Confunda seus colegas e amigos com um truque mágico matemático !
Escolha um de seus colegas ou amigos e deixe que ele pense em um número entre 20 e 100. Quando ela escolher um, peça a ele para executar os três cálculos simples a seguir:
- adicione os dígitos (por exemplo, 23 → 2 + 3 = 5)
- subtraia o total do número original (23-5 = 18)
- adicione os dígitos do novo número (18 → 1 + 8 = 9)
Você pode adivinhar facilmente o número dela, porque ela não sabe que, não importa com qual número ela comece, ela sempre terminará com o número 9!
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